El fenómeno natural que ahora se conoce como movimiento Browniano tuvo su primer registro (aunque no la primera observación) en 1828, cuando el botánico Robert Brown reportó que granos de polen suspendidos en una cierta substancia y vistos a través de un microscopio, realizaban un movimiento irregular e inexplicable.
El movimiento Browniano se define como el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua).
Este fenómeno satisface las siguientes propiedades:
- 1. Es continuo.
- 2. Parece tener desplazamientos independientes en intervalos de tiempos disjuntos.
- 3. Debido al gran número de colisiones del grano de polen con las moléculas circundantes en longitudes de tiempo no pequeños y teniendo en cuenta el Teorema Central del Límite, los incrementos pueden modelarse como variables aleatorias Gaussianas.
Definición (unidimensional). Un movimiento Browniano unidimensional de parámetro $\sigma^{2}$ es un proceso estocástico $\{B_{t}:\;t\geq0\}$ con valores en $\mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:
- 1. $B_{0}=0$ casi seguramente.
- 2. Las trayectorias $t\mapsto B_{t}$ son continuas.
- 3. El proceso tiene incrementos independientes.
- 4. La variable $B_{t}-B_{s}$ tiene distribución normal $\mathcal{N}(0,\,\sigma^{2}(t-s))$ para cualquier tiempo $0\leq s<t$.
En 1923 el matemático norteamericano Norbert Wiener demostró la existencia y unicidad de un proceso con tales condiciones. Es por esta razón que a menudo a este proceso también se le llama proceso de Wiener y se le denota por $\{W_{t}:\;t\geq 0\}$.
Algunos resultados (teoremas) sobre el movimiento Browniano son estos:
- (1) El movimiento Browniano es un proceso de Markov.
- (2) El movimiento Browniano es una martingala continua.
- (3) Caracterización de Paul Lèvy. Un proceso $\{X_{t}:\;t\geq 0\}$ es un movimiento Browniano si y sólo si tiene trayectorias continuas, comienza en cero y tanto $X_{t}$ como $(X_{t}^{2}-t)$ son martingalas.
